>QXエディタからブラウザにコピー＆ペーストすると、文字化けしてしまいます。

わたしの場合、Windows XP でこの問題が起きています。ブラウザでのページの
言語コードの問題なのかとも思いましたが、うちでは Windows 2000 では問題
ないのです。

>新規の無題ファイルからコピー＆ペーストした場合は問題ないのですが、

いったん無題ファイルにペーストして、それをさらにコピー＆ペーストすると
いう方法でいかがでしょうか。

クリップボードの処理というのは、内部的にはかなり複雑なようです。
途中に何か挟むことで文字化けが回避できるのであれば、そのあたりでベストでは
ないでしょうか。

あるいは Windows のクリップボードの仕組みについて、きちんと勉強すれば
わかるのかもしれませんが……。

とりあえずわたしにはこれ以上わかりません。何かよい情報があれば教えてください。