まず、B のほうのパソコンに LAN 端子はついていますでしょうか。

ついていましたら、B のパソコンをネットにではなく、A に直接 LAN 接続
すれば、A にダウンロードしたファイルが B にコピーできます。

パソコンどうしを直接 LAN 接続するにはクロスケーブルか、クロスに変換する
小さいアダプタが必要です。このへん、わたしは特にネットワークに詳しい
わけでもないので、LAN で 2 台のパソコンを直接つなぐ方法を解説した
ページなどを検索していただけますか。

A に CD-R に保存する機能があり、B にも CD ドライブがあれば、QX の
インストール用ファイルを CD-R に保存して B から使用できます。これも
よく使う方法です。

ＱＸエディタが雑誌の付録の CD-ROM に収録された、という話は聞いてませんので、
そういった方法でコピーするしかないと思います。

B のパソコンをネットにつなぐことが問題ではないなら、ルータとスイッチング
ハブを設置すればいつでもネットにも自宅の他のパソコンにもつなげます。が、
これについても、ちゃんとした解説がウェブ上にたくさんあると思いますので
ここでは書きません。（書いても細かいところで間違いそうですし。）

LAN 端子がついているパソコンであれば一時的につなぎかえてネットに接続したり、
あるいはモデム端子をたまには利用して電話回線経由で、時間はかかるものの、
ダウンロードするという方法もあります。が、普段は接続していないパソコンを
ネットにつなぐときは、ファイアウォールをしっかり立てないと危険なので、
状況によって判断が必要です。また、最初に挙げた、A と B のパソコンを直接
つなぐ方法も、A のパソコンが感染していた場合、B にファイアウォールがなければ
感染する可能性があります。

（長文になり、投稿制限にひっかかりましたので、分割します。）