>マクロのサブルーチンのどこがうまくいっていないのかわかりませんが、
>リンクをダブルクリックすると「ブラウザを起動しますか？」というウィンドウが現れ、
>OKをクリックすると問いかけのウィンドウが消えるだけで、なにも起こりません。

このサブルーチンのところに call shell で始まる行が 2 行ありますが、
この 2 行をコメントアウトして、代わりに、

call shell("C:\Program Files\Internet Explorer\IEXPLORE.EXE " + htmlfile$,1)

としてみたらうまくいくかもしれません。（ここはブラウザによってパスを変更
します。上のはうちの環境の IE の例です。うちは実際は Firefox ですが。）

いちおう元に戻せるように確認しながらやってみてください。